복소해석학은 복소수를 변수로 갖는 함수를 대상으로 하는 해석학의 한 분야로 대수기하, 정수론과 응용수학에서 자주 인용되며, 유체역학, 열역학, 양자역학, 학공공학 등의 물리학, 공학분야에서도 중요한 역할을 한다. 그러나 이 책은 수학을 공부하는 학생들을 위해 쓰여진 것이기 때문에 공학적인 응용보다는 수학적 이론 전개에 중점을 두고 기술하였다.

이 책의 논리 전개를 위해서 집합론과 실함수 해석학의 기본적인 지식의 일부를 기술하였지만 기술하지 않은 부분에 대해서는 독자들의 이해를 가정하였다. 1, 2장에서는 복소해석에서 필요한 기본적인 집합론적 사전 지식을 정리하였고, 3, 4장에서는 복소해석함수의 성질과 대표적인 해석함수에 관하여 기술하였다. 5, 6장에서는 코시의 정리를 중심으로 복소함수의 적분을 다루었으며, 7, 8, 9장에서는 복소함수의 급수전개와 이에 따르는 유수정리 등의 급수전개의 응용에 관하여 살펴보았다. 10장에서는 편각원리와 이의 응용으로 루셰의 정리를, 11, 12장에서는 선형분수변환, 등각사상 등에 대해 기술하였다. 마지막으로 13장에서는 프아송 적분을 중심으로 조화함수가 갖는 성질에 대해 알아보았다.

1장 복소수

1.1 복소수와 대수적 연산 2

1.2 복소평면 5

1.3 문제해결 16

2장 집합과 함수

2.1 복소평면에서의 집합 20

2.2 수열 23

2.3 복소함수 30

2.4 문제해결 39

3장 복소해석함수

3.1 도함수 42

3.2 해석함수 49

3.3 문제해결 61

4장 기본적인 복소함수와 그 도함수

4.1 지수함수 65

4.2 삼각함수와 쌍곡선함수 71

4.3 로그함수와 멱함수 78

4.4 역삼각함수 85

4.5 문제해결 87

5장 복소함수의 적분

5.1 경로적분 92

5.2 적분과 역도함수 105

5.3 코시의 정리 108

5.4 문제해결 122

6장 코시의 적분공식과 응용

6.1 코시의 적분공식 127

6.2 코시의 부등식과 응용 138

6.3 최대절댓값 정리 143

6.4 문제해결 147

7장 해석함수의 테일러급수

7.1 급수의 수렴 151

7.2 균등수렴 153

7.3 멱급수 161

7.4 해석함수의 테일러급수 171

7.5 문제해결 180

8장 로랑의 급수

8.1 특이점 183

8.2 로랑의 급수 194

8.3 문제해결 204

9장 유수정리와 그 응용

9.1 유수정리 207

9.2 유수의 계산 211

9.3 유수정리의 응용 218

9.4 문제해결 236

10장 편각원리

10.1 영점과 극점의 수 239

10.2 편각원리 242

10.3 문제해결 250

11장 선형분수변환

11.1 기본적인 변환 253

11.2 선형분수변환 259

11.3 다른 변환들 269

11.4 문제해결 273

12장 등각사상과 리만의 사상정리

12.1 등각사상 275

12.2 리만의 사상정리 283

12.3 문제해결 286

13장 조화함수

13.1 조화함수 287

13.2 프아송 적분공식 293

13.3 디리클레 문제 298

13.4 문제해결 303