이 책은 고등학교에서 행렬을 전혀 학습하지 않고 대학에 입학한 1학년 학생들을 대상으로 하는 한 학기용 선형대수학 교재이다. 본 교재는 8개의 장으로 구성되어 있으며, 각 장의 내용은 다음과 같다.

제1장에서는 행렬의 정의를 소개하고 행렬에서 정의되는 여러 연산들의 기본적인 성질을 학습한다.

제2장에서는 행렬과 연립1차방정식의 관계를 소개하고 이와 관련된 중요한 개념인 역행렬, 기본행연산, 가우스-조르단 소거법, LDU분해 등을 학습한다.

제3장에서는 행렬의 중요한 여러 성질을 판별하는 기준 중의 하나인 행렬식의 정의 및 성질을 학습하고, 행렬식을 이용하여 연립1차방정식의 해를 구하는 유명한 해법인 크레머 공식 등을 학습한다.

제4장에서는 행렬이 가장 많이 응용되는 분야 중의 하나인 그래프 이론(graph theory)을 소개한다. 1,2,3장에서 배운 행렬 대수의 기본적인 정의 및 성질들이 어떻게 그래프 이론에 쉽고 유용하게 적용되는지 살펴본다.

제5장에서는 우리가 익숙한 유클리드 공간에서의 벡터의 내적과 외적을 학습한다. 특히 2차원 평면   와 3차원 공간  에서의 벡터의 기본 개념들을 이해하고, 나아가 차원 유클리드 공간  에서의 벡터 개념으로 확장한다.

제6장에서는 벡터공간을 추상적으로 정의하고, 일차독립과 일차종속, 생성공간, 기저, 차원 등의 개념을 학습한다. *표시가 되어 있는 5절, 6절, 7절의 내용은 선형대수학에서 매우 중요한 개념이나, 행렬 대수를 처음 접하는 학생들을 대상으로 하는 1학기용 강의에서 부득이 내용을 줄여야 하는 경우 이 세 소단원을 빼는 것이 가장 적절할 것으로 보인다.

제7장에서는 선형변환을 학습한다. 선형변환은 두 벡터공간 사이에서 정의되는 함수로서 벡터공간의 선형성을 보존하는 특별한 함수이다. 특히, 사영변환, 반사변환, 확대(축소)변환, 회전변환, 층밀림변환 등 쉬운 선형변환의 여러 예를 구체적으로 살펴본다.

제8장에서는 행렬마다 정의되는 고유치와 고유벡터의 개념을 학습한다. 특히 대각화가 가능한 행렬을 알아보고 계산해 본다.

이 책 4장에서도 소개하였듯이 행렬은 우리 사회의 곳곳에서 사용되고 있다. 최근에는 4차 산업혁명으로 인한 급격한 사회의 변화 속에서 행렬의 사용은 더욱 다양한 분야로 확대되고 있으며, 특히 인공지능 학습, 빅데이터 분석 등 최첨단 산업에서는 이미 필수적인 기본개념이다. 그런 의미에서 선형대수학은 현대인의 기초소양이라 하지 않을 수 없다. 이 교재가 그러한 소양을 쌓는 좋은 길잡이가 될 수 있기를 희망한다.

CHAPTER 1 행렬

1.1 행렬의 정의와 연산 3

1.2 특수한 행렬 12

1.3 행렬 연산의 성질 20

CHAPTER 2 행렬과 연립일차방정식

2.1 연립일차방정식과 기본행연산 29

2.2 역행렬 43

2.3 기본행렬 54

2.4 LDU분해 65

CHAPTER 3 행렬식

3.1 행렬식의 정의 75

3.2 행렬식의 성질 85

3.3 행렬식을 이용한 역행렬의 계산 97

3.4 크레머 공식 103

3.5 블록행렬 110

CHAPTER 4 그래프 이론과 행렬

4.1 그래프와 행렬 119

4.2 행렬나무 정리 131

CHAPTER 5 유클리드 벡터공간

5.1 벡터의 기본개념 139

5.2 벡터의 내적 152

5.3 벡터의 외적 159

CHAPTER 6 벡터공간

6.1 벡터공간 173

6.2 부분공간 178

6.3 일차종속과 일차독립 184

6.4 생성, 기저, 차원 193

6.5 기저의 변경과 좌표벡터* 202

6.6 행공간과 열공간* 210

6.7 그람-슈미트 직교화 과정* 217

CHAPTER 7 선형변환

7.1 선형변환의 정의 227

7.2 여러 가지 선형변환 234

7.3 선형변환에 의한 이미지 243

7.4 선형변환의 합성과 역변환 260

CHAPTER 8 행렬의 고유치와 대각화

8.1 고유치와 고유벡터 269

8.2 행렬의 대각화 282

∙연습문제 해답 297